基本的には旦那様又はそのご家庭の名字に対しての続柄に合わせるのが一般的です。
また、その際亡くなれた方のお名前だけではわかりにくいのでフルネーム記載することをお勧め致します。

連名で書いても問題はありません。
今年三月に母　鈴木　和子が八十九歳にて永眠致しました
今年八月に父　鈴木　一郎が九十三歳にて永眠致しました
生前のご厚誼を深く感謝申し上げます
なお時節柄一層のご自愛をお祈り申し上げます

一般的には数え年の方が正しいとされています。
最近は満年齢で記載されることも多いようです。

喪中はがきは年賀欠礼以外の内容は記載しないのが基本です。
文章に記載するのではなく、住所の脇に「新住所」と記載するだけに留め、
寒中見舞い等で改めて新居へのお誘いやご報告をされるとよいでしょう。

こちらからもきちんとお伝えすることをお勧め致します。
先方の喪中とこちらの喪中は別問題と考えた方が良いでしょう。

喪中はがきを送らなかった人から年賀状が届いたり、12月に入ってから身内に不幸があって、喪中欠礼の挨拶状送付が間に合わなかった場合、松の内があけてから、寒中見舞いとして出すことが一般的です。

相手が喪中であることを知らずに、年賀状を出してしまった時は、すぐに詫び状を出さず、松の内があけてから、詫び状（頭語や時候の挨拶は省いて、不注意をお詫びする文と故人へのご冥福をお祈りする文）または寒中見舞いを出すのが礼儀です。